贝塔分布beta distribution 是关于连续变量 $\mu \in$ [0,1]的概率分布，它由2个参数 a>0 和 b>0确定，其概率密度函数 $\begin{aligned} p(\mu|a,b) &= Beta(\mu|a,b) = \frac{\tau(a+b)}{\tau(a)\tau(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} \\ &= \frac{1}{B(a,b)\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}}\\ &E[\mu]=\frac{a}{a+b}\\ &var[\mu] =\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\\ \end{aligned}$ 其中\tau(a)为gamma函数

$tau(a) = \int^{+\infty}_0 t^{a-1}e^{-t}dt$ B(a,b)为Beta 函数 $B(a,b) =\frac{\tau(a)\tau(b)}{\tau(a+b)}$

当a=b=1时，贝塔分布退化为均匀分布